TP 5 KAL2 : Turunan

Tugas Pendahuluan 5.

PRAKTIKUM

KALKULUS II

OLEH

LUH PUTU SUCI VANDASARI

F1A113054

KELAS A

JURUSAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HALU OLEO

2014

SOAL.

1.      Cari turunan itu menyatakan apa? Dan bagaimana turunan menyatakan hal itu?

2.      Cari materi turunan parsial!

3.      Cari turunan dari :

PENYELESAIAN. 

1.      Turunan.

Turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan  besaran lain, dan untuk menyatakan hal itu dikenal proses diferensiasi atau pendiferensialan yaitu proses menemukan turunan.

Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

Dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakana bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila  z = x + h, h = z - x, dan  h  mendekati 0  jika dan hanya jika  z  mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Gambar grafik fungsi turunan.

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x)  sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Pada persamaan 1, dapat diketahui bahwa definisi turunan merupakan gradient dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil  limit  h  mendekati  0,  maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradient dari fungsi tersebut.

Misalkan y merupakan fungsi yang akan diturunkan. Symbol turunan dari y antara lain :

adalah simbol untuk turunan pertama.

  

          adalah simbol untuk turunan kedua.

         

Untuk symbol turunan menggunakan tanda petik satu ‘ dan tanda tersebut bertambah seiring tingkatannya (banyak penurunanya). Selain symbol dengan tanda ‘ , terdapat symbol lain yaitu :

               Dimana huruf d menyatakan diferensial, sehingga dy/dx artinya diferensial fungsi y terhadap x.

Contoh terapannya.

Ø  Bidang Fisika

Kalkulus sangatlah penting dalam fisika. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:

·         Kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.

·         Percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu.

Jika sebuah benda dilempar ke atas (atau kebawah) dari suatu ketinggian awal s meter dengan kecepata awal v meter/detik dan jika s adalah tingginya diatas tanah dalam meter setelah t detik, maka:

Ini menganggap bahwa percobaan berlangsung dekat permukaan laut dan bahwa tahanan udara dapat diabaikan. Diagram dalam gambar 3  melukiskan situasi yang kita bayangkan.

 

2.      Turunan parsial.

Dalam matematika, turunan parsial sebuah fungsi matematika peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan (konstan). Ini dibedakan dengan turunan total, yang membolehkan semua variabelnya untuk berubah. Turunan parsial berguna dalam bidang kalkulus vektor dan geometri diferensial.

Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variabel x dituliskan oleh berbagai sumber rujukan sebagai

Lambang turunan parsial ∂ adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan dengan notasi turunan total d (dan dari huruf ð)

Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :

i)      x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.

ii)    y  berubah-ubah sedangkan x tertentu. 

A.    Turunan Parsial Fungsi Satu Peubah.

Definisi.

i)        Turunan parsial terhadap variabel x.

Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu maka  z  merupakan fungsi x, Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap x  sebagai berikut.

ii)        Turunan parsial terhadap variabel y.

Jika  y  berubah-ubah  dan x  tertentu maka  z  merupakan fungsi y,  Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap y  sebagai berikut.

B.    Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah.

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: 
1.         y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah. 
2.         x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah 
3.         x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial. 
Definisi. 
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:

Asalkan limitnya ada.

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n tidak sama dengan 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.

Berikut contoh turunan parsial.

3.      Cari turunan dari :