TP 6 KAL2 : Integral

Tugas Pendahuluan 6.

PRAKTIKUM

KALKULUS II

OLEH

LUH PUTU SUCI VANDASARI

F1A113054

KELAS A

JURUSAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HALU OLEO

2014

 

SOAL.

1.      Mengapa 

 

2.      Integral menyatakan apa, dan bagaimana integral menyatakan hal itu ?

3.      Tentukan integral-integral berikut :

PENYELESAIAN.

1.      Mengapa

      Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.

Dengan kata lain, fungsi e^x jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:

• Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
• Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x
• Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan e):

Jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

 

 

2.      Integral  

     Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah

  

batas atas dan batas bawah. Integral tertentubiasanyadipakaiuntukmencari Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu.

 didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada diatas sumbu-x bernilai positif dan area dibawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

 

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

Integral terbagi dua yaitu integral taktentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki volume benda putar dan luas.

a.            Integral TakTentu

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x). Dinamakan integral taktentu karena ada ketidak tentuan pada nilai konstantanya.

∫ f(x) dx = F(x) + k 

dimana k adalah sebarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan diatas tanda ∫ adalah tanda integral; f(x) dx adalah diferensial dari F(x); f(x) adalah integral partikular; k adalah konstanta pengintegralan; dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal.

b.      Integral Tentu 

Teorema Fundamental Kalkulus (TFK) digunakan untuk menghitung integral tentu  

dengan menggunakan anti-turunan dari f(x).  

Bagian I TFK: 

Diberikan f adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup [a,b] dan didefiniskan fungsi F sebagai berikut

Untuk setiap x elemen [a,b]   maka F terturun pada [a,b]  dan

Bagian I TFK:  

diberikan  f adalah fungsi kontinu pada interval [a,b] dimana interval [a,b] dibagi menjadi interval yang memiliki panjag yang sama

 dengan panjang setiap bagian interval adalah

 untuk sebarang

dengan i = 1,2,3,....,n maka integral tentu f dari a ke b didefinisikan :

Teorema Fundamental kalkulus (TFK) : Diberikan f adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup [a,b] maka :

Dengan F adalah anti-turunan dari f, dengan kata lain F' = f.

Bukti:

dari definisi integral tentu di atas, diketahui

merupakan  interval-interval bagian dari  [a,b], diperoleh berdasarkan teorema nilai rata-rata maka

terdapat  sedemikian hingga maka :

 karena F anti turunan dari f maka itu berarti

 diperoleh :

 dengan mengambil limit

 diperoleh :

Integral tentu  dapat digunakan untuk menentukan luas dan volume benda putar, dengan cara sebagai berikut : 

 3. jawaban :